distantship a écrit :Il y a aussi un problème avec le dernier passage, non ? Car 1^(1/2) ça donne aussi bien 1 que -1...
Et non, malheureux.
La fonction racine carrée est à valeurs dans R+.
Comme ça semble intéresser du monde, la réponse que j'ai fait à Sphane en mp :
[...]la "formule" (a^b)^c = a^(b*c) n'est toujours valable que pour a > 0.
Plus précisément :
- Si a > 0, cette formule est toujours valable (a^b = e^(b ln a) est valable si a > 0 car la fonction ln est définie sur ]0 , + infini[ et la fonction exponentielle est définie sur R).
- Si b et c sont des entiers naturels, la "formule" est valable pour tout a réel : si d est un entier non nul, a^d = a*a*...*a avec d facteurs égaux à a.
- Si bc est un entier négatif ou nul, la "formule" est valable si a est non nul : car si bc est nul et a est nul, on se retrouve avec 0^0 qui n'est pas défini - sauf cas particulier, par exemple en théorie des anneau, 0^0 = 1.
Si bc est un entier négatif alors a^b = 1/(a^(-b)) et si a=0, on divise par 0 ce qui est passible de peine de mort en mathématiques.
Une autre façon de voir les choses :
La fonction qui a x associe rac(x²) est définie sur R tout entier (car x² est positif ou nul) et elle est définie de la sorte :
rac(x²) = x si x est dans R+
rac(x²) = -x si x est dans R-
Autrement dit rac(x²)=|x| pour tout x dans R.
Donc rac[(-1)²] = 1. C'est tout et c'est comme ça.
Le gros problème là-dedans (et c'est une question intéressante) vient de la généralisation de la notation a^b pour a et b réels. Il faut prendre des précautions !!!
Voili, voilou.
m.
"Les amnésiques n'ont rien vécu d'inoubliable" (Hervé Le Tellier)
On est ici dans le corps des nombres réels, la racine carrée est donc la fonction définie comme étant la réciproque de la fonction carrée (la fonction carrée étant bijective de R+ dans R+, sa réciproque l'est aussi).
"Les amnésiques n'ont rien vécu d'inoubliable" (Hervé Le Tellier)
Dans C, la racine carrée est à valeurs complexes (exemple rac(-1) = i), donc parler de "positif" ou "négatif" n'a pas de sens puisque C ne peut pas être muni d'une structure de corps totalement ordonné.
En revanche, dans C, il y a ce qu'on appelle les racines n-èmes d'un nombre complexe.
Le problème est le suivant : soit z0 un complexe fixé et soit n un entier naturel.
Déterminer l'ensemble des solutions (dans C) de l'équation z^n = z0.
Si tu veux plus d'infos à ce sujet, contacte-moi via mp ou, mieux, fais une recherche sur le web
"Les amnésiques n'ont rien vécu d'inoubliable" (Hervé Le Tellier)
La racine carrée principale, c'est justement la fonction qui est bijective de R+ dans R+. L'autre, c'est la racine carrée... heu je sais plus comment qui elle est donc bijective de R+ dans R- (réciproque de la fonction carrée qui est bijective de R- à R+). La racine carrée "tout court", c'est les deux, donc -2 et +2 sont tous deux racine de 4.
distantship a écrit :Toujours selon mes vieux souvenirs :
La racine carrée principale, c'est justement la fonction qui est bijective de R+ dans R+. L'autre, c'est la racine carrée... heu je sais plus comment qui elle est donc bijective de R+ dans R- (réciproque de la fonction carrée qui est bijective de R- à R+). La racine carrée "tout court", c'est les deux, donc -2 et +2 sont tous deux racine de 4.
Ca rejoint les racines n-èmes d'un nombre complexe.
La racine carrée est la fonction réciproque de la restriction et corestriction de la fonction carrée (de R+ dans R+).
L'autre dont tu parles est l'opposée de la racine carrée (f : x associe -rac(x)).
Elle est effectivement la réciproque de la restriction et corestriction de la fonction carrée (bijective de R- dans R+).
"Les deux ensembles", ce n'est plus une application puisqu'un réel x non nul a toujours deux images. Et ça pose problème.
Donc, disais-je, ce dont tu parles est similaire au problème des racines n-èmes d'un nombre complexe.
Aurement dit, ce que tu affirmes est : dans R l'équation x² = a (avec a > 0) possède deux solutions. Certes.
Mais pour autant, 1^(1/2) = rac(1) vaut 1 et non -1.
"Les amnésiques n'ont rien vécu d'inoubliable" (Hervé Le Tellier)
maline a écrit :alors cette fois ci on y'est !
j'ai trouvé le topic le plus chiant de ces 30 dernières années !!
Sans vouloir me vanter, force m'est d'admettre que rien de tout ceci n'aurait été possible sans mon intervention.
tout à fait, tout le mérite te revient !!
sinon, moi j'y connais rien en Monty python, ni en mathématiques, mais par contre Gaston Lagaffe ! waouh la classe !
moi j'aime bien les mathématiques, j'adore les monthy python (même si je préfère sacrée Graal à la vie de Brian, justement parce que sacré graal est plus gratuit).
Par contre, Gaston Lagaff, j'ai jamais accroché.
